Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.
Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение имеет вид
Φ=𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,
ζ=
𝑛
𝑞
𝑎
𝑛-1
𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)
,
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
.
(55)
ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из (47) в (48) имеем
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
+ζ
∂²Φ
∂𝑟²
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(56)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
+ζ
∂²Φ
∂𝑟∂𝑡
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-
-𝑇
⎡
⎢
⎣
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
+
ζ²
𝑎³
+
1
2𝑎³
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
+
2ζ
𝑎³
∂²ζ
∂θ²
⎤
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)=0
.
(57)
Подставляя значения (55) для Φ, ζ и 𝑞, получаем во втором приближении
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=-
𝑛²(2𝑛-1)
4𝑞
𝑎
2𝑛-3
𝐴²cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
𝑛²
4𝑞
𝑎
2𝑛-3
𝐴²sin 2𝑞𝑡
(58)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
+
𝐹(𝑡)=
=-ρ
𝑛(2𝑛-1)(𝑛²+2𝑛-2)
8(𝑛²-1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴²(cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡 + cos 2𝑛θ)
-
-ρ
𝑛(4𝑛³+3𝑛²-4𝑛-2)
8(𝑛²-1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² cos 2𝑛θ
-ρ
𝑛(3𝑛²-2)
8(𝑛²-1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴²
.
(59)
Исключая ζ из равенств (58) и (59), находим
⎡
⎢
⎣
ρ
∂²Φ
∂𝑡²
-
𝑇
𝑎²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
+
∂³Φ
∂𝑟∂²θ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
+
𝐹'(𝑡)
=
=-ρ
3𝑞𝑛(𝑛-1)(2𝑛+1)
4(𝑛+1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
ρ
4
𝑞𝑛(4𝑛+3)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² sin 2𝑞𝑡
.
(60)
Полагая
𝐹'(𝑡)
=
ρ
4
𝑞𝑛(4𝑛+3)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² sin 2𝑞𝑡
,
мы видим, что уравнению (60) удовлетворяет функция
Φ=
𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
-
3𝑛(𝑛-1)²(2𝑛+1)
8(2𝑛²+1)𝑞𝑎²
𝐴²𝑟
2𝑛
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡,
(61)
где, как и в первом приближении,
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
.
(62)
Подставляя это в (58), получаем
∂ζ
∂𝑡
=-
𝑛𝑎
𝑛-1
𝐴
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝐴²
𝑛²
4𝑞
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
2𝑛²+1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
𝐴²
𝑛²
4𝑞
𝑎
2𝑛-3
sin 2𝑞𝑡,
(63)
а из (63) имеем
ζ=-
𝑛
𝑞
𝐴
𝑎
𝑛-1
cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
2𝑛²+1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑞𝑡
+
ƒ(θ).
(64)
Подставляя в (59) найденные значения для Φ, 𝑞, ζ и 𝐹'(𝑡), имеем уравнение
ƒ(θ)
+
ƒ'(θ)
=-
𝐴
𝑛²
8𝑞²
(2𝑛+1)(𝑛²+2𝑛-2)
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ
+const,
которому удовлетворяет функция
ƒ(θ)
=
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑛²+2𝑛-2
2𝑛+1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ
+𝐶.
(65)
Из условия (49) в этом случае получаем
𝐶=-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
.
(66)
Формулы (64), (65) и (66) дают
ζ=
𝑛
𝑞
𝐴
𝑎
𝑛-1
cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
2𝑛-1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
+
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑛²+2𝑛-2
2𝑛-1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑞𝑡
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
.
(67)
ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из уравнений (47) и (48) находим
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
+ζ
∂²Φ
∂𝑟²
+
ζ²
2
∂³Φ
∂𝑟³
+
+
2ζ
𝑟³
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
-
ζ
𝑟²
∂²Φ
∂𝑟∂θ
∂ζ
∂θ
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(68)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
+ζ
∂²Φ
∂𝑟∂𝑡
+
ζ²
2
∂²Φ
∂𝑟²∂𝑡
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
-
1
2𝑟²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
-ζ
∂²Φ
∂𝑟²
∂Φ
∂𝑟
-
ζ
𝑟²
∂²Φ
∂𝑟∂ζ
+
ζ
𝑟³
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-
-𝑇
⎡
⎢
⎣
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
+
ζ²
𝑎³
+
1
2𝑎³
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
+
+
2ζ
𝑎³
∂²ζ
∂θ²
-
ζ3
𝑎4
-
3ζ
2𝑎4
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
3ζ
𝑎4
∂²ζ
∂θ²
+
3
2𝑎4
∂²ζ
∂θ²
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)=0
.
Подставляя сюда значения Φ, ζ и 𝑞 из формул (61), (62) и (67), получаем (чтобы не усложнять выкладки сверх необходимого, мы ограничимся вычислением лишь тех членов, которые дают вклад в изменение 𝑞)
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=
𝑛³(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)
32𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
×
×
𝐴
3
𝑎
3𝑛-5
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝑃
1
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
𝑃
2
sin 2𝑞𝑡
+
𝑃
3
cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡
+
+
𝑃
4
cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
𝑃
5
cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡
(70)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
+
𝐹(𝑡)
=
=
-ρ
𝑛²(𝑛²-1)(40𝑛³-24𝑛²+65𝑛-30)
32𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
𝐴
3
𝑎
3𝑛-5
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝑄
1
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
𝑄
2
cos 2𝑛θ
+
𝑄
3
cos 2𝑞𝑡
+
𝑄
4
+
+
𝑄
5
cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡
+
𝑄
6
cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡
+
𝑄
7
cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡
(71)
Исключая ζ из соотношений (70) и (71), находим
⎡
⎢
⎣
ρ
∂²Φ
∂𝑡²
-
𝑆
𝑎²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
+
∂³Φ
∂𝑟∂θ²
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
+
𝐹'(𝑡)
=
=
-ρ
𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)
16𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
𝐴
3
𝑎
3𝑛-5
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝑆
1
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
𝑆
2
sin 2𝑞𝑡
+
𝑆
3
cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡
+
+
𝑆
4
cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
𝑆
5
cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡
(72)
Полагая 𝐹'(𝑡)=𝑆2 sin 2𝑞𝑡, уравнению (72) можно удовлетворить при
𝑄=
𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
𝐴
1
𝑟
2𝑛
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
𝐴
2
𝑟
3𝑛
cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡
+
𝐴
3
𝑟
3𝑛
cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝐴
4
𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡
,
(73)
если
𝑞²
=
𝑇
𝑎³ρ
(𝑛³-𝑛)
⎡
⎢
⎣
1-
𝐴²
𝑎
2𝑛-4
𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)
16𝑞³(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
.
(74)
Продолжая вычисления таким же образом, как и во втором приближении, получаем
ζ=𝐴
𝑛
𝑞
𝑎
𝑛-1
⎡
⎢
⎣
1-
𝐴²
𝑛²
𝑞²
𝑎
2𝑛-4
(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)
32(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
×
×
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝐵
1
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
𝐵
2
cos 2𝑛θ
+
𝐵
3
cos 2𝑞𝑡
+
𝐵
4
+
+
𝐵
5
cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡
+
𝐵
6
cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡
+
𝐵
7
cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡
,
(75)
где коэффициенты 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 и 𝐵4 - те же, что и во втором приближении, а 𝐵5, 𝐵6 и 𝐵7 — величины порядка 𝐴³.
Полагая коэффициент при cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡 в формуле (75) равным 𝑏, находим в результате всех вычислений, что уравнение поверхности цилиндра из жидкости, совершающего чисто периодические двумерные колебания, имеет вид
𝑟=𝑎+𝑏
cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡
+
𝑏²
𝑎
⎡
⎢
⎣
-
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
8(2𝑛²+1)
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
+
𝑛²+2𝑛-2
8(2𝑛-1)
cos 2𝑛θ
-
1
8
cos 2𝑞𝑡
-
1
8
⎤
⎥
⎦
+
𝑏³
𝑎²
(…)+…
,
(76)
где
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑏²
𝑎²
(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)
16(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
+
+
𝑏4
𝑎4
(…)+…
⎤
⎥
⎦
.
В экспериментах струя обычно совершает стационарные колебания в трёх измерениях, так что сечение струи не одинаково во всех точках. Если, однако, скорость струи 𝑐 столь велика, что длина волны λ велика по сравнению с диаметром струи, то в каждом сечении движение будет очень мало отличаться от движения в двумерном случае, и тогда можно считать, что форма поверхности струи описывается уравнением (76).
Полное решение в трёхмерном случае можно записать в виде
𝑟=𝑎+𝑏
cos 𝑛θ cos 𝑘𝑧
+
+
𝑁
1
𝑏²
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+α
1,1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
1+α
1,2
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫4
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
cos 2𝑛θ cos 2𝑘𝑧
+
+
𝑁
2
𝑏²
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+α
2,1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
cos 2𝑛θ
+…
и
𝑘²
=
1
𝑐²
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
⎡
⎢
⎣
1+β
1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
+β
2
⎧
⎪
⎩
𝑎