⎪
⎭
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
+2
∂²
∂𝑟²
+
2
𝑟
∂
∂𝑟
+
2
𝑟²
∂²
∂θ²
=
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
+2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
-2
⎧
⎪
⎩
∂²
∂𝑧²
-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
,
это даёт
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑟
∂
∂𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
⎤
⎥
⎦
=
=2
⎧
⎪
⎩
𝑏²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
=
2𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(16)
и из соотношений (15) и (16) следует, что
α
1
=
⎡
⎢
⎣
𝑏
𝑑
𝐵𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(17)
а из (11) получаем
-
1
∂β
1
𝑟
∂θ
=
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
∂ω1
∂𝑧
=
=
⎧
⎨
⎩
𝐵
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑏
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
+
𝐶
𝑖𝑏
1
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎫
⎬
⎭
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(18)
С помощью соотношения
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
+
1
𝑥
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
+
⎧
⎪
⎩
1-
𝑛²
𝑥²
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑥)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
β
1
=
⎡
⎢
⎣
𝐵
𝑛𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
-𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(20)
Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для 𝑝, α1, β1 и ω1, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем
α=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏
𝑑
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
β=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
𝑛
1
𝑏𝑐ρ
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏𝑛
1
𝑑²
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
𝑤=𝑐+ω=𝑐+
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑒ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
𝑟-𝑎=ζ=𝐷
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
𝐷
𝐷𝑡
(𝑟-𝑎-ζ)
=
⎧
⎪
⎩
α
∂
∂𝑟
+
β
∂
𝑟
∂θ
+𝑤
∂
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
(𝑟-𝑎-ζ)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
𝑎-𝑐
∂ζ
∂𝑧
=0,
ζ=-
𝑖
𝑐𝑏
α.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через 𝑅1 и 𝑅2, получаем, далее, аналогичным образом
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
∂²ζ
𝑎²
∂θ²
-
∂²ζ
∂𝑧
=
1
𝑎
-α
𝑖(𝑛²-1+𝑏²𝑎²)
𝑎²𝑐𝑏
.
(23)
Пусть 𝑃𝑟, 𝑃θ и 𝑃𝑧 — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось 𝑋 и используя общепринятые обозначения, имеем
𝑃
𝑟
=
𝑝
𝑥,𝑥
=
-𝑝
+2μ
∂𝑢
∂𝑥
,
𝑃
θ
=
𝑝
𝑥,𝑦
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑣
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
𝑝
𝑥,𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑤
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая θ=0, получаем
𝑃
𝑟
=
-𝑝
+2μ
∂α
∂𝑟
,
𝑃
θ
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂β
∂𝑟
+
1
∂α
𝑟
∂θ
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения 𝑇; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅1
+
1
𝑅2
⎫
⎪
⎭
+
𝑃
𝑟
=const,
𝑃
θ
=0,
𝑃
𝑧
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
⎡
⎢
⎣
-𝑇α
𝑖(𝑚²-1+𝑎²𝑏²)
𝑎²𝑐𝑏
-𝑝+2μ
∂α
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0,
(26)
⎧
⎪
⎩
1
∂α
𝑟
∂θ
+
∂β
∂𝑟
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭𝑟=𝑎
=0,
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭𝑟=𝑎
=0.
(27)
Подставляя в эти условия значения 𝑝, α, β и 𝑤, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая 𝐵/𝐴 и 𝐶/𝐴, получаем уравнения для определения 𝑏. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.
В экспериментах численное значение величины | 𝑖𝑎𝑏 | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | 𝑖𝑎𝑑 |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | 𝑖𝑎𝑏 | < 0,24 и | 𝑖𝑎𝑑 | > 20.)
При всех значениях 𝑥 справедливо разложение
𝐽
𝑛
(𝑥)
=
𝑥𝑛
2𝑛⋅𝑛!
-
𝑥𝑛+2
2𝑛+2⋅1!(𝑛+1)!
+
𝑥𝑛+4
2𝑛+4⋅2!(𝑛+2)!
-…
(28)
Ряд (28) быстро сходится при малых 𝑥, но очень медленно — при больших 𝑥. Из разложения (28) следует
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
=
𝑛
𝑥
𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑥2
2𝑛(𝑛+1)
-
𝑥4
23⋅𝑛(𝑛+1)2(𝑛+2)
-…
⎤
⎥
⎦
и далее с помощью (19)
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
=
𝑛(𝑛-1)
𝑥²
𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑥²(2𝑛+1)
2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)
+
𝑥4
23(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)2(𝑛+2)
…
⎤
⎥
⎦
.
Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения 𝑏, мы будем полагать
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
=-
𝑖𝑛
𝑎𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
и
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
=-
𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²(2𝑛+1)
2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
.
(29)
Для вычисления 𝐽𝑛(𝑥) при больших значениях 𝑥 мы воспользуемся асимптотическим выражением
𝐽
𝑛
(𝑥)
∼
(2π𝑥)
-½
⎧
⎨
⎩
[
𝑃
𝑛
(𝑥)
+
𝑖𝑄
𝑛
(𝑥)
]
exp 𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑥-
2𝑛+1
4
π
⎫
⎪
⎭
[
𝑃
𝑛
(𝑥)
-
𝑖𝑄
𝑛
(𝑥)
]
exp -𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑥-
2𝑛+1
4
π
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
(30)
где
𝑃
𝑛
(𝑥)
=
1-
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)
2!(8𝑥)²
+
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)(4𝑛²-7²)
4!(8𝑥)4
-…
и
𝑄
𝑛
(𝑥)
=
4𝑛²-1²
1!8𝑥
-
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)
3!(8𝑥)3
+…
Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части 𝑥, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для 𝐽𝑛(𝑥) при больших 𝑥. При использовании формулы (30) 𝑥 можно записать в виде 𝑎-𝑖𝑏, где 𝑎 и 𝑏 — большие положительные числа. При этом член с 𝑒𝑖𝑥 будет преобладающим; пренебрегая членом с 𝑒-𝑖𝑥, имеем
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
=
𝑖𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑖
2𝑥
-
4𝑛²-1
8𝑥²
+
𝑖(4𝑛²-1)
8𝑥³
-…
⎤
⎥
⎦
и, согласно (19),
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
=
-𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑖
𝑥
-
2𝑛²-1
2𝑥²
-
𝑖(4𝑛²-1)
8𝑥³
-…
⎤
⎥
⎦
.
Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
=
𝑖𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
⎧
⎪
⎩
1+
1
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑
⎫
⎪
⎭
и
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
=
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
⎧
⎪
⎩
1+
1
𝑎𝑑
+
2𝑛²+1
2𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
(31)
Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑏
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2(𝑛-1)(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
2𝑛𝑏
𝑎𝑑
⎧
⎪
⎩
1+
3
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
-
-
𝐶
𝑛
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑖𝑑²
𝑛
⎧
⎪
⎩
1+
2
𝑎𝑑
+
2𝑛²+1
𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
=0
(32)
и
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑑
⎧
⎪
⎩
1+
1
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
-
𝐶𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑖𝑏
𝑎
=0.
(33)
Из соотношений (32) и (33) находим
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
≈
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛
𝑎𝑑
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
⎧
⎪
⎩
1-
1
2𝑎𝑑
-
12𝑛²-8𝑛-3
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
и
𝐶𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
≈
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
𝑖2𝑛²(𝑛-1)
𝑎²𝑑²𝑏
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2(𝑛²-1)
⎤
⎥
⎦
⎧
⎪
⎩
1-
2
𝑎𝑑
-
2𝑛²-3
𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
.
(34)
Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
𝑛(𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1+
𝑛-1
𝑎𝑑
+
(𝑛-1)(2𝑛-3)
2𝑎²𝑑²
⎤
⎥
⎦
-
-𝑇
𝑖𝑏𝑎 𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑏)
(𝑛²-1+𝑎²𝑏²)=0.
(35)