Раздел математической логики, изучающий связи между логическими переменными, имеющими только два значения, называется
Таблица 1 – Коды чисел от 0 до 15
Десятичное число | Коды | ||
---|---|---|---|
Двоичный | 16-ричный | Двоично-десятичный | |
0 | 0000 | 0 | 000 |
1 | 0001 | 1 | 0001 |
2 | 0010 | 2 | 0010 |
3 | 0011 | 3 | 0011 |
4 | 0100 | 4 | 0100 |
5 | 0101 | 5 | 0101 |
6 | 0110 | 6 | 0110 |
7 | 0111 | 7 | 0111 |
8 | 1000 | 8 | 1000 |
9 | 1001 | 9 | 1001 |
10 | 1010 | A | 00010000 |
11 | 1011 | B | 00010001 |
12 | 1100 | C | 00010010 |
13 | 1101 | D | 00010011 |
14 | 1110 | E | 00010100 |
15 | 1111 | F | 00010101 |
1.2.1 Основные положения алгебры логики
Различные логические переменные могут быть связаны функциональными зависимостями. Функциональные зависимости между логическими переменными могут быть описаны логическими формулами или таблицами истинности.
В общем виде логическая
В
Таблица 2 – Полный набор функций одной переменной
X | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Y1 — Инверсия, Y2 — Тождественная функция, Y3 — Абсолютно истинная функция и Y4 – Абсолютно ложная функция.
При двух переменных полный набор состоит из 16 функций, однако в цифровых устройствах используются далеко не все.
Основными логическими функциями двух переменных, используемыми в устройствах цифровой обработки информации являются: дизъюнкция (логическое сложение), конъюнкция (логическое умножение), сумма по модулю 2 (неравнозначность), стрелка Пирса и штрих Шеффера. Условные обозначения логических операций, реализующих указанные выше логические функции одной и двух переменных, приведены в таблице 3.
Таблица 3 Названия и обозначения логических операций
Операцию инверсии можно выполнить чисто арифметически:
Таблица 4 – Таблицы истинности основных функций двух переменных
Дизъюнкция | Конъюнкция | Исключающее ИЛИ | Стрелка Пирса | Штрих Шеффера | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Дизъюнкция. В отличие от обычного арифметического или алгебраического суммирования здесь наличие двух единиц даёт в результате единицу. Поэтому при обозначении логического суммирования предпочтение следует отдать знаку (∨) вместо знака (+) [1].
Первые две строчки таблицы истинности операции дизъюнкции (
Конъюнкция. Таблица 4 убедительно показывает тождественность операций обычного и логическог умножений. Поэтому в качестве знака логического умножения возможно использование привычного знака обычного умножения в виде точки [1].
Первые две строчки таблицы истинности операции конъюнкции определяют
Исключающее ИЛИ. Под функцией «Исключающее ИЛИ» понимают следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль.
Надпись на обозначении элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ «=1» (Рисунок 1, г) как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.
Эта операция аналогична операции арифметического суммирования, но, как и другие логические операции, без образования переноса. Поэтому она имеет другое название