Полагая в формуле (35) μ=0, получаем решение Рэлея
𝑏
2
0
=
𝑖𝑏𝑎 𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏
0
)
𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑏0)
(𝑛²-1+𝑎²𝑏
2
0
)=
=
𝑏(𝑛³-𝑛)
𝑝𝑐²𝑎³
⎡
⎢
⎣
1+
(3𝑛-1)𝑎
2
𝑏
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
+
3(𝑛+3)𝑎
4
𝑏
4
0
8𝑛(𝑛-1)(𝑛+1)
2
(𝑛+2)
+…
⎤
⎥
⎦
.
(36)
Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через 𝑘0.
Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
(5𝑛+1)𝑎²𝑘
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1+
𝑛-1
𝑎𝑑
+
(𝑛-1)(2𝑛-3)
2𝑎²𝑑²
⎤
⎥
⎦
-
-𝑘
2
0
=0.
(37)
В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),
𝑖𝑎𝑑
=
𝑖𝑎
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑘
0
𝑐ρ
μ
⎫½
⎪
⎭
=
(1-𝑖)
⎧
⎪
⎩
𝑎²𝑘0𝑐ρ
μ
⎫½
⎪
⎭
,
где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть 𝑖𝑎𝑑 была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
(5𝑛+1)𝑎²𝑘
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1-(1-𝑖)
𝑛-1
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫½
⎪
⎭
-
-𝑖
(𝑛-1)(2𝑛-3)
4
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
-𝑘
2
0
=0.
(38)
Решая равенство (38) относительно 𝑏, получаем, полагая 𝑏=𝑘+𝑖ε,
𝑘=𝑘
0
⎡
⎢
⎣
1-
𝑛(𝑛-1)²
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫
⎪
⎭
3/2
-
3𝑛(𝑛-1)²
4
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
(39)
и
ε=
μ
ρ
⋅
2𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
(5𝑛+1)𝑎²𝑘
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1-
𝑛-1
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘20
⎫½
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(40)
Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением
𝑟=𝑎+𝑏𝑒
-ε𝑧
cos 𝑘𝑧 sin 𝑛θ,
где 𝑘 и ε определяются формулами (39) и (40).
Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем
𝑇
=
𝑘²
ρ𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑘)
𝑖𝑎𝑘 𝐽
'
𝑛 (𝑖𝑎𝑘) (𝑛²-1+𝑎²𝑘²)
⎡
⎢
⎣
1+𝑛(𝑛-1)²
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘
⎫
⎪
⎭
3/2
+
+
3𝑛(𝑛-1)²
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(41)
УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ
Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом 1.
1 G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.
Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.
При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости Φ. Используя полярные координаты и обозначая через α и β соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем
α= -
∂Φ
∂𝑟
,
β= -
1
𝑟
∂Φ
∂θ
.
Считая жидкость несжимаемой, получаем
∂α
∂𝑟
+
α
𝑟
+
1
𝑟
∂β
∂θ
= -
⎧
⎪
⎩
∂²Φ
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂Φ
∂𝑟
+
1
𝑟²
∂²Φ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
=0.
(42)
Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при 𝑟=0, может быть записано в виде
Φ=
∑∑
𝐴
𝑛,𝑞
𝑟
𝑛
cos(𝑛θ+τ
𝑛
)
sin(𝑞𝑡+ε
𝑞
),
(43)
где 𝑛 — положительные целые числа.
Уравнение поверхности жидкости запишем в виде
𝑟=𝑎+ζ, ζ=ψ(θ,𝑡).
Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид
𝐷
𝐷𝑡
(𝑎-ζ-𝑟)
=
⎧
⎪
⎩
∂
∂𝑡
+α
∂
∂𝑟
+
β
𝑟
∂
∂θ
⎫
⎪
⎭
(𝑎-ζ-𝑟)
и
𝑝-
𝑇
𝑅
=0,
(44)
где 𝑅 — радиус кривизны поверхности.
Из равенства (44) находим
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂𝑡
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
+
∂Φ
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
𝑟=𝑎+ζ
=0
(45)
и
ρ
⎧
⎨
⎩
∂Φ
∂𝑡
-
1
2
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
+
1
𝑟²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑟=𝑎+ζ
-𝑇
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²+2
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
-
(𝑎+ζ)
∂²ζ
∂θ²
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²
+
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤-3/2
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)
=0.
(46)
Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия 𝑟=𝑎, будем считать ζ малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом Φ должно быть величиной также первого порядка малости, если 𝐹(𝑡) определено таким образом, что Φ не содержит членов, не зависящих от 𝑟 или θ.
Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
1+ζ
∂
∂𝑟
+
ζ²
2
∂²
∂𝑟²
+…
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(47)
и
ρ
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪
⎩
1+ζ
∂
∂𝑟
+
ζ²
2
∂²
∂𝑟²
+…
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
-
1
2𝑟²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭𝑟=𝑎
-
-𝑇
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²+2
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
(𝑎+ζ)
∂²ζ
∂θ²
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²
+
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤-3/2
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)
=0.
(48)
Из уравнений (43), (47) и (48) ζ может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия
2π
∫
0
𝑎+ζ
∫
0
𝑟𝑑𝑟𝑑θ
=
2π
∫
0
1
2
(𝑎+ζ)²𝑑θ
=
π𝑎².
(49)
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(50)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑎
+
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
+
𝐹(𝑡)
=0.
(51)
Исключая ζ из равенств (50) и (51), получаем
⎡
⎢
⎣
ρ
∂²Φ
∂𝑡²
-
𝑇
𝑎²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
+
∂²Φ
∂𝑟∂²θ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
+
𝐹'(𝑡)
=0.
(52)
Если 𝐹'(𝑡)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция
Φ=𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,
где
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
(53)
Подставляя это выражение в равенство (50), находим
∂ζ
∂𝑡
=-
𝑛𝑎
𝑛-1
𝐴 cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,
ζ=
𝑛
𝑞
𝑎
𝑛-1
𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)
.
(54)
Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение
ƒ(θ)
+
ƒ''(θ)
=const,
которому удовлетворяет функция
ƒ(θ)=𝐶.
При этом из (49) следует, что
𝐶=0.
В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:
𝑟=𝑎+
∑
𝑏
𝑛
cos(𝑛θ+τ
𝑛
)
cos(𝑞
𝑛
𝑡+ε
𝑛
),
где
𝑞
2
𝑛
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛).