Читаем Избранные научные труды. Том 1 полностью

Теория колебаний цилиндрической струи жидкости около её равновесной формы развита Рэлеем для случая, когда амплитуда колебаний бесконечно мала и жидкость не обладает вязкостью.

Уравнения, полученные Рэлеем, могут рассматриваться как хорошее приближение в случае, когда амплитуда и коэффициент вязкости малы; однако, если эти уравнения используются для точного определения коэффициента поверхностного натяжения, существенно знать степень точности этого приближения в реальных условиях. Поэтому в первой части настоящего исследования мы попытаемся уточнить теорию путём внесения поправок, учитывающих конечность амплитуды и вязкость.

РАСЧЁТ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ

Под влиянием вязкости колебания струи будут затухать. Если задача заключается в отыскании закона убывания амплитуды, то при малом коэффициенте вязкости это можно приближённо сделать с помощью простого учёта рассеянной энергии. Некоторые авторы ⁵ считают, что связанные с учётом вязкости поправки к длине волны (или периоду колебаний) в подобном случае могут быть найдены прямо из логарифмического декремента затухания амплитуды волны δ с помощью формулы 𝑇₁=𝑇(1+δ²/4π²)^½, где 𝑇₁ — период затухающих колебаний, а 𝑇 — период незатухающих колебаний. Однако использование такой формулы мне представляется неправильным. Дело в том, что эта формула получена для случая, когда единственное различие уравнений движения для консервативной системы (𝑎∂²𝑞/∂𝑡²+𝑐𝑞=0) и для неконсервативной системы (𝑎∂²𝑞/∂𝑡²+𝑏∂𝑞/∂𝑡+𝑐𝑞=0) связано с введением диссипативного члена; это справедливо для малых свободных колебаний тела с одной степенью свободы.

⁵ См.: P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, стр. 346, а также:

Ph. Lenard. Wied. Ann., 1887, XXX, стр. 239, где рассматривается измерение коэффициента поверхностного натяжения воды по методике колебаний капель.

В нашей же задаче коэффициент инерции 𝑎 не будет одинаковым для двух систем, так как в неконсервативной системе 𝑎 зависит от коэффициента вязкости (то же самое имеет место и во всех аналогичных проблемах гидродинамики, когда потенциал скорости существует для консервативной, но не существует для неконсервативной системы).

Из последующего будет видно, что в действительности поправки к длине волны пропорциональны не δ², а δ^3/2.

Чтобы найти изменение длины волны вследствие вязкости, следует рассмотреть вопрос более детально. Подобное исследование было проведено Рэлеем ¹ для случая колебаний цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярных сил при сохранении симметрии относительно оси цилиндра. Однако последнее условие (симметрия) в указанной работе с самого начала используется в такой форме, что проведенные расчёты нельзя применять к случаю колебаний более общего вида, о которых речь пойдёт ниже. Результаты нашего рассмотрения не охватывают частный случай, исследованный Рэлеем, поскольку для упрощения расчётов не принимались специальные меры предосторожности, обеспечивающие возможность перехода к пределу 𝑛=0.

¹ Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.

Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид

μ∇²𝑢-ρ

𝐷𝑢

𝐷𝑡

=

∂𝑝

∂𝑥

,

μ∇²𝑣-ρ

𝐷𝑣

𝐷𝑡

=

∂𝑝

∂𝑦

,

μ∇²𝑤-ρ

𝐷𝑤

𝐷𝑡

=

∂𝑝

∂𝑧

,

(1)

∂𝑢

∂𝑥

+

∂𝑣

∂𝑦

+

∂𝑤

∂𝑧

=

0,

(2)

где 𝑢, 𝑣, 𝑤 — компоненты скорости, 𝑝 — давление, ρ — плотность, μ — коэффициент вязкости и

∇²

=

∂²

∂𝑥²

+

∂²

∂𝑦²

+

∂²

∂𝑧²

,

𝐷

𝐷𝑡

=

∂

∂𝑡

+𝑢

∂

∂𝑥

+𝑣

∂

∂𝑦

+𝑤

∂

∂𝑧

.

В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим 𝑤=𝑐+ω. Считая, что 𝑢, 𝑣 и 𝑤 имеют вид ƒ(𝑥,𝑦)•𝑒^𝑖𝑏𝑧 и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

𝑢

=

1

μ

∂𝑝

∂𝑥

,

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

𝑣

=

1

μ

∂𝑝

∂𝑦

,

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

ω

=

1

μ

∂𝑝

∂𝑧

.

(3)

Из уравнений (3) и (2) следует

∇²𝑝=0.

(4)

Полагая

𝑢

=

𝑖

𝑐𝑏ρ

∂𝑝

∂𝑥

+

𝑢

₁

,

𝑣

=

𝑖

𝑐𝑏ρ

∂𝑝

∂𝑦

+

𝑣

₁

,

ω

=

𝑖

𝑐𝑏ρ

∂𝑝

∂𝑧

+

ω

₁

,

(5)

получаем

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

𝑢

₁

=0

,

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

𝑣

₁

=0

,

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

ω

₁

=0

,

(6)

и

∂𝑢₁

∂𝑥

+

∂𝑣₁

∂𝑦

+

∂ω₁

∂𝑧

=0

.

(7)

Введём полярные координаты 𝑟 и θ (𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости α и β. С помощью соотношений

𝑡

=

α cos θ - β sin θ,

𝑢

=

α sin θ + β cos θ,

𝑡

₁

=

α

₁

cos θ - β

₁

sin θ,

𝑢

₁

=

α

₁

sin θ + β

₁

cos θ,

∂

∂𝑥

=

cos θ

∂

∂𝑟

-

sin θ

1

𝑟

∂

∂θ

,

∂

∂𝑦

=

sin θ

∂

∂𝑟

+

cos θ

1

𝑟

∂

∂θ

,

(8)

из равенств (5) получаем

α

=

𝑖

𝑐𝑏ρ

∂𝑝

∂𝑟

+α

₁

,

β

=

𝑖

𝑐𝑏ρ

1

𝑟

∂𝑝

∂θ

+β

₁

;

(9)

из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ∇²=∂²/∂𝑟² + (1/𝑟)∂/∂𝑟 + (1/𝑟²)∂²/∂θ² + ∂²/∂𝑧² находим

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

α

₁

-

α₁

𝑟²

-

2

𝑟²

∂β₁

∂θ

=0,

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

β

₁

-

β₁

𝑟²

-

2

𝑟²

∂α₁

∂θ

=0

(10)

и

∂α₁

∂𝑟

+

α₁

𝑟

+

1

𝑟

∂β₁

∂θ

+

∂ω₁

∂𝑧

=0.

(11)

Полагая, что 𝑝, α, β, ω и соответственно α₁, β₁, ω₁ имеют вид ƒ(𝑟)𝑒^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}, из уравнения (4) получаем

∇²𝑝

=

∂²𝑝

∂𝑟²

+

1

𝑟

∂𝑝

∂𝑟

-

𝑝

⎧

⎪

⎩

𝑛²

𝑟²

+𝑏²

⎫

⎪

⎭

=0.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при 𝑟=0, имеет вид

𝑝=

𝐴𝐽

_𝑛

(𝑖𝑏𝑟)𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

,

(12)

где 𝐽_𝑛 функция Бесселя 𝑛-го порядка. Из уравнений (6) имеем

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

ω

₁

=

∂²ω₂

∂𝑟²

+

1

𝑟

∂ω₁

∂𝑟

-

ω

₁

⎧

⎪

⎩

𝑚²

𝑟²

+

𝑑²

⎫

⎪

⎭

=0,

𝑑²

=

𝑎²

+

𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

,

(13)

откуда

ω

₁

=

𝐵𝐽

_𝑛

(𝑖𝑑𝑟)𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

.

(14)

Исключая β₁ из уравнений (10) и (11), имеем

𝑟

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

α

₁

+2

∂α₁

∂𝑟

+

α₁

𝑟

=-2

∂ω₁

∂𝑧

,

откуда

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

(𝑟α

₁

)

=-2

𝑖𝑏

𝐽

_𝑛

(𝑖𝑑𝑟)𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

(15)

Поскольку, однако,

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑟

∂

∂𝑟

⎫