Структурные формулы в виде СДНФ и СКНФ эквивалентны и, с помощью законов алгебры, логики могут быть преобразованы одна в другую.
Пример: Синтезировать мажоритарный логический элемент на три входа.
Мажоритарным называется логический элемент, выходное состояние которого совпадает с большинством входных сигналов.
На основании данного словесного описания мажоритарного элемента составлена его таблица истинности (Таблица 5).
Таблица 5 - Таблица истинности мажоритарного элемента
X1 | X2 | X3 | Y |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
На основе таблицы истинности записывается СДНФ или СКНФ функции, а затем составляется функциональная схема элемента.
СДНФ:
СКНФ:
Рисунок 3 Функциональная схема мажоритарного элемента
Функциональная схема элемента, составленная на основе функции СДНФ мажоритарного элемента, приведена на рисунке 3. Схема состоит из 8 элементов, имеющих общее количество входов 19. Количество входов характеризует сложность схемы и называется «Число по Квайну». Схема составленная на основе функции СКНФ, также будет иметь 19 входов.
2.3 Понятие базиса
Любая, сколь угодно сложная логическая функция, представленная таблицей истинности, может быть представлена в форме СДНФ или СКНФ. Каждая из этих формул записана с помощью логического сложения, умножения и отрицания. Поэтому для реализации логических устройств, предназначенных для обработки цифровых сигналов, в общем случае необходимо иметь элементы, выполняющие операции И, ИЛИ, НЕ. Такой набор элементов называется
Однако, число необходимых элементов в такой системе можно уменьшить, исключив из неё либо элемент ИЛИ, либо элемент И. Например, в соответствии с теоремой де Моргана, имеем
Рисунок 4 Реализация элемента ИЛИ на элементах НЕ, И
Аналогично можно исключить элемент И, заменив его операцией логической суммы над инверсными значениями переменных с последующим применением операции инверсии
При схемной реализации функционально полных систем с минимальным логическим базисом идут по пути использования универсальных логических элементов: ИЛИ-НЕ, И-НЕ и И-ИЛИ-НЕ (Рисунок 5).
Рисунок 5 Универсальные логические элементы
Элемент ИЛИ-НЕ Рисунок 5,а) осуществляет логическую операцию
Элементы универсальных базисов позволяют реализовать все три основные логические операции (Рисунок 6). Например, для осуществления операции НЕ с помощью элемента И-НЕ достаточно объединить входы
Рисунок 6 Реализация функций НЕ, И и ИЛИ на элементах И-НЕ
При последовательном соединении элемента И-НЕ и инвертора осуществляется операция логического умножения:
Применение трёх элементов И-НЕ, два из которых работают в режиме инвертирования с объединёнными входами (рисунок 6,в), позволяют реализовать операцию логического сложения
В общем случае логическая функция Y может зависеть от нескольких переменных
2.4 Минимизация логических формул
Однозначная зависимость сложности логической формулы и функциональной схемы логического устройства приводят к выводу необходимости минимизации структурной формулы логического устройства. Минимизация осуществляется с использованием основных соотношений, законов и теорем алгебры логики.
2.4.1 Расчётный метод минимизации