Читаем О Бесконечном полностью

То же справедливо и относительно множества всех чисел, выражающихся с помощью радикалов и, даже более того, — для множества всех алгебраических чисел. Аналогично обстоит дело и с нашим вторым примером: неожиданным образом оказывается, что множество точек квадрата или куба, взятое только с точки зрения многочисленности, не больше множества точек отрезка [0, 1]; даже для множества всех непрерывных функций справедливо ещё такое же утверждение. Кто узнаёт это впервые, может подумать, что с точки зрения многочисленности существует вообще одна только бесконечность. Но это неверно: множества наших двух примеров, — 1-го и 2-го — как говорят, не «равномощны»; напротив того, множество 2-го примера не может быть пересчитано, — оно больше множества 1-го примера. Здесь наступает характерная перемена в образовании идей Кантора. Точки отрезка нельзя пересчитать обычным способом с помощью чисел 1, 2, 3, ... Но, допуская существование актуальной бесконечности, мы отнюдь не ограничиваем себя этим обычным способом счёта, и ничто нас не принуждает прекратить счёт. Когда мы пересчитали 1, 2, 3, ..., то мы можем пересчитанные предметы рассматривать как некое в этом определённом порядке законченное бесконечное множество. Обозначим, как это делает Кантор, этот порядок по его типу через ω; тогда счёт естественно продолжается с помощью ω + 1 ,ω + 2 ,... до ω + ω или ω*2, а затем он продолжается дальше с помощью ω*2 + 1,  ω*2 + 2, ω*2 + 3, ..., ω*2 + ω = ω*3 и далее с помощью ω*2, ω*3, ω*4, ..., ω*ω = ω², ω² + 1, ...

Таким образом, мы получаем следующую таблицу:

1, 2, 3 ...

ω, ω + 1, ω + 2 ...

ω*2, ω*2 + 1, ω*2 + 2 ...

ω*3, ω*3 + 1, ω*3 + 2 ...

ω², ω² + 1,  ...

ω² + ω, ω² + ω*2, ω² + ω*3 ...

ω²*2, ...

ω²*2 + ω,  ...

ω³, ...

ω⁴, ...

ω^ω, ...

Это — первые трансфинитные числа, числа второго класса, как их называет Кантор. К ним мы подходим просто посредством продолжения счёта за пределы обыкновенной счётной бесконечности, т.е. с помощью вполне естественного, однозначно определённого последовательного продолжения обычного счёта в конечном. Подобно тому как мы до сих пор считали лишь 1-ю, 2-ю, 3-ю, ... вещь множества, так теперь мы считаем ω-ю, (ω + 1)-ю, ω^ω-ю вещь. При таком положении вещей тотчас же сам собою напрашивается вопрос: нельзя ли при помощи этих трансфинитных чисел пересчитать множества, которые в обычном смысле несчётны?

Кантор в соответствии с этим ходом мыслей успешно построил теорию трансфинитных чисел и создал для них полное исчисление. Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своём дерзком полёте достигло головокружительной высоты успеха.

Но реакция не заставила себя ждать; она разыгралась очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем всё более резкие и всё более серьёзные: так называемые парадоксы теории множеств. В особенности это относится к противоречию, найденному Цермело и Расселом, опубликование которого оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие. Перед лицом этих парадоксов Дедекинд и Фреге фактически отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы.

Дедекинд долго сомневался перед тем, как выпустить новое издание своей работы «Что такое числа, и чем они должны быть» («Was sind und was sollen die Zahlen»), которая в своё время открыла новую эпоху; у Фреге так же была тенденция считать свою книгу «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik») ошибочной, в чём он признаётся в одном из своих послесловий. И на учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие её умозаключения оказались под угрозой, и применение их должно было быть запрещено. Правда, не было недостатка и в защитниках старого; но мероприятия защиты были очень слабы, и они не были направлены единым фронтом в нужную сторону. Лекарств против парадоксов рекомендовали слишком много, методы объяснений были слишком разнообразны.

Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности, — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?