Читаем Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики полностью

Обзор жизни и научной деятельности Давида Гильберта сосредоточится на нескольких этапах, обусловленных его математическими интересами (алгеброй, геометрией, анализом, теоретической физикой и основаниями математики): разрабатываемые им годами, они и определили его легендарную репутацию. Но в этой книге мы не только расскажем о понятиях, которые он ввел или в становление которых внес вклад; мы также познакомимся с некоторыми важнейшими деятелями науки начала XX века. Минковский, Пуанкаре, Эйнштейн, фон Нейман и Гедель появятся на этих страницах в числе многих других. Читатель получит удовольствие от знакомства и постоянных встреч с людьми, имена которых известны каждому студенту благодаря понятиям и теоремам, названным в их честь.

Детство и молодость Гильберт провел в родном Кёнигсберге, а в зрелом возрасте переехал в Геттинген, где жил до конца своих дней. Будучи профессором университета, он способствовал созданию математического института, который привлек лучшие умы того времени. Вокруг него выстраивался авангард немецкой науки, да и европейской тоже, пока нацисты не превратили Геттинген в пустошь.

Карьера молодого Гильберта пошла в гору, когда, к удивлению коллег, он решил насущную алгебраическую проблему, казавшуюся непреодолимой. Однако через некоторое время он оставил алгебру и переключился на основания геометрии, взяв на вооружение аксиоматический метод. В его работе этот метод имел решающее значение. Гильберт больше, чем кто-либо, научил математиков мыслить аксиоматически и определил новый метод как самый надежный в математической вселенной.

На лекции, прочитанной им на Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года (в тот день стояла удушающая жара), он продемонстрировал научному сообществу свою проницательность, и его стали воспринимать как человека, за которым — будущее математики. Логика необходима этой науке, но именно проблемы обеспечивают ее жизнедеятельность. Круг из 23 проблем, сформулированных Гильбертом, определил равное количество вызовов, которые мотивировали ведущих математиков последующие 100 лет. В итоге математика стала развиваться во многих направлениях. Некоторые из этих проблем были решены однозначно (как, например, в случае континуум-гипотезы), в то время как другие (скажем, гипотеза Римана) все еще ждут своей очереди.

Гильберт — легендарная личность и для физики тоже. Уравнения общей теории относительности — результат его творческой гениальности в не меньшей степени, чем гениальности Эйнштейна. Квантовая механика, в свою очередь, тесно связана с математической структурой, гильбертовым пространством. Кроме того, новый век стал свидетелем того, как немецкий математик очерчивает (не в полной мере осознавая это) новую область математического анализа — функциональный анализ.

Однако самая обширная тема — это основания математики. Парадоксы логики и теории множеств, а также плеяда открытых вопросов о надежности классической математики спровоцировали глубокий раскол в научном сообществе и все нараставшие споры об основаниях этой дисциплины. К 1920 году, находясь на пике карьеры, наш герой ринулся создавать амбициозную программу основания, причем ему пришлось помериться силами с некоторыми виднейшими европейскими математиками. Как архитектор, исследующий фундамент старого дворца, который вот-вот рухнет, Гильберт пересмотрел основания математики, пытаясь устранить ее трещины и обеспечить ей устойчивость на долгие века. Он хотел стереть уродливое пятно парадоксов с идеального здания математики. На это его воодушевляла слепая вера в то, что можно доказать: математика, снабженная подходящими аксиомами, не содержит никаких противоречий, она устойчива. Это одна из главных проблем математики, которую Гильберт озвучил на лекции 1900 года.

Изучая его вклад, мы вновь переживем это эпическое и страстное приключение в поисках точности, где сошлись великие логики и математики конца XIX — начала XX века: Фреге, Рассел, Кантор, Пуанкаре, Брауэр и Гёдель. Вдохновленные богатством современной им математики, эти ученые задумались о ее природе и целях. В ту пору выделились три тенденции. Логицизм, проявившийся у Фреге и оживленный Расселом, утверждал, что все математические принципы могут быть сведены к логическим законам. Интуиционизм — порождение Пуанкаре и Брауэра — отрицал методы классической математики, которые привели ее к парадоксам. И наконец, формализм, отождествляемый с мыслью Гильберта, стремился полностью аксиоматизировать математику, доказав, что аксиомы никогда не ведут к противоречию.