Читаем Простые числа полностью

Простые числа

ЗНАКИ ДЬЯВОЛА

В эпоху темного средневековья цифры считались тайными знаками «секретного письма». Именно поэтому закодированные сообщения до сих пор называют «зашифрованными сообщениями», так как слово «шифр» происходит от арабского слова «цифра». Строго говоря, только те сообщения, в которых буквы заменены цифрами, следует называть зашифрованными. Когда арабские цифры впервые появились в Европе, рьяные абацисты (счетоводы) заменяли их на счетах римскими цифрами, не желая использовать эти «дьявольские символы, которыми Сатана сбил арабов с пути истинного». Даже спустя шесть веков после смерти папы Сильвестра II, в 1003 г., церковники приказали вскрыть его могилу, чтобы проверить, нет ли там демонов, которые внушили ему интерес к науке сарацинов.

Гэрберт Орильякский, избранный папой римским под именем Сильвестра II, был папой-математиком.

* * *

Основная теорема арифметики

Простые числа называют «кирпичами» в здании математики, «атомами» математики и «генетическим кодом» чисел. Дома строятся из кирпичей, все в природе состоит из атомов, а живые организмы определяются генетическим кодом. Все эти аналогии основаны на общем понятии: первичных элементах, из которых строится вся система. Рассмотрим теперь роль простых чисел в математике.

Как мы увидели, число может быть разложено на делители, или на множители. Так, число 12 можно представить в виде 3 x 4. Напомним, что при разложении на множители имеется в виду, что число 12 производится числами 3 и 4. Но мы также знаем, что число 12 может быть получено и из других чисел, например:

12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3.

Итак, процесс разложения числа на множители называется факторизацией. Напомним, именно этот процесс привел нас к точному определению простого числа, при факторизации которого мы получаем только единицу и само число в качестве множителей. Например, число 13 будет разложено так:

13 = 1 х 13.

Когда один из множителей в произведении повторяется, мы используем надстрочный индекс, равный количеству повторений. Например:

2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 2⁵;

З х З х З х З = 3⁴.

В математике это называют «степенью». Читается это как 2⁵ (два в пятой степени) и З⁴ (три в четвертой степени).

В предыдущем примере мы представили число 12 в виде трех произведений с различными множителями: 2 и 6; 3 и 4; 2, 2 и 3. Только последнее из этих произведений содержит лишь простые множители. Рассмотрим другой пример, число 20:

20 = 2 x 10 = 2 x 2 x 5 = 4 x 5.

Только произведение 20 = 2 x 2 x 5 = 2² х 5 содержит лишь простые множители.

Перед нами встает следующий вопрос: можно ли любое наугад взятое число всегда разложить на простые множители? Другими словами, может ли оно быть представлено в виде произведения только простых чисел? Ответ на этот вопрос положителен. Более того, любое число можно разложить на простые множители единственным образом. Когда мы записываем число 20 в виде произведения простых множителей, 20 = 2² х 5, мы делаем это единственно возможным образом, учитывая, что порядок множителей не имеет существенного значения, то есть разложения 2 х 5 х 2 и 5 х 2 х 2 считаются одинаковыми. Эта теорема была сформулирована Евклидом и известна как «основная теорема арифметики». Она утверждает, что «любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых множителей».

* * *