Читаем Числа: от арифметики до высшей математики полностью

Позже появились счеты другой формы. Это деревянная рамка с горизонтальными стержнями, на которые насажено по десять дисков, называемых костяшками. Стержень достаточно длинный, и косточки можно передвигать. В принципе каждый стержень — это модель ладоней с десятью пальцами. Если вначале все косточки сдвинуты налево, то, передвинув одну косточку направо, мы имитируем такой жест, когда поднимаем один палец.

А теперь договоримся, что нижний ряд косточек — это единицы, над ним — десятки. Выше — сотни, а над сотнями — тысячи. Теперь попробуем представить число 7524 при помощи счетов. На нижнем ряду надо передвинуть направо 4 косточки, на следующем — 2, на следующем — 5, и, наконец, на ряду, расположенном еще выше, — 7.

Разумеется, гораздо удобнее пользоваться счетами, чем показывать числа на пальцах. Преимуществ у счетов несколько, и они достаточно серьезные. Во-первых, нет необходимости засорять память тем, как нужно расположить пальцы и ладони, когда изображаешь какое-то число. Во-вторых, можно показать все число, даже если это десятки или сотни тысяч, целиком, а не по частям. Не нужно запоминать, сколько было тысяч, сотен и десятков. В-третьих, когда пользуешься счетами, можно добавлять сколько угодно рядов и, таким образом, изобразить в принципе сколь угодно большое число. И наконец, счеты позволяют изобразить одновременно два числа и выполнить с ними какие-то действия.

Человеку еще в доисторические времена было необходимо складывать и вычитать числа. Предположим, что вы приобрели у соседа несколько наконечников для стрел и вам нужно знать, сколько у вас теперь всего в запасе наконечников. Или, скажем, ваши овцы принесли по несколько ягнят — вы должны знать, сколько голов в вашем стаде после этого прибавления.

Самый простой способ — посчитать. Предположим, у вас было пять наконечников, и вы приобрели еще два. Вы складываете их вместе, считаете — и у вас получается семь. Но постепенно приобретается опыт счета, вы уже знаете, что пять плюс два — это семь.

Однако наша память не беспредельна, и когда нужно сложить большие числа, например двадцать три и пятьдесят четыре, ответ найти уже гораздо труднее. Представьте себе древнего пастуха, у которого в стаде было пятьдесят четыре овцы, а потом прибавилось еще двадцать три. И вот он их долго и нудно пересчитывает, сбивается, начинает сначала, опять сбивается… и приходит в ярость от собственного бессилия. Пожалуй, от человека, занимающегося подсчетами по такой методике, лучше держаться подальше.

Вот тут на помощь могут прийти счеты. Это очень удобное приспособление, которое помогает подсчитать сумму этих двух чисел, не делая никаких особых интеллектуальных усилий. Теперь совсем не нужно находиться рядом с этими глупыми овцами, которые не могут стоять на месте и все время перемещаются. Можно уйти в дом и считать там.

Если нужно прибавить двадцать три к пятидесяти четырем, то сначала на счетах на нижнем ряду, то есть на ряду единиц, мы откладываем четыре. На следующем ряду, на ряду десятков, — пять. Теперь на нижнем ряду откладываем еще три, а на следующем — два. И в результате получаем семьдесят семь. Правда, при счете сумма ни разу не равнялась десяти или большему числу.

Точно так же без особых проблем можно складывать и очень большие числа. Например, нам нужно сложить двести пятьдесят три тысячи сто двенадцать и сто двадцать шесть тысяч восемьсот тридцать один. Используя счеты, мы легко определим сумму, которая равна триста семидесяти девяти тысячам девятисот сорока трем. Однако эта легкость отчасти определяется тем, что ни на одном ряду при сложении мы не получали числа, большего десяти.

А теперь представьте себе, что надо на счетах сложить семь и восемь. Как ни странно, это даже трудней, чем получить сумму от сложения нескольких сотен тысяч, что мы только что сделали.

Посмотрите на рисунок.

Сначала на нижнем ряду вы переводите направо восемь костяшек. Теперь нужно к ним прибавить еще семь, но у нас на нижнем ряду свободны только две костяшки. Что же делать? Все очень просто. Сначала передвигайте оставшиеся две. Теперь у вас есть целый десяток. Вы делаете замену, десять костяшек на нижнем ряду заменяете на одну костяшку на следующем ряду, то есть откладываете в ряду десятков один десяток. Теперь вы можете закончить сложение, ведь ряд единиц у вас свободен. Нам нужно было передвинуть семь костяшек. Две мы уже передвинули. Значит, осталось передвинуть еще пять. Передвигаем пять костяшек на нижнем ряду влево и получаем результат: один десяток и пять единиц, то есть пятнадцать.

Такая замена десяти костяшек на одну в следующем верхнем ряду годится для всех рядов. Десять десятков можно заменить на одну сотню, десять сотен на одну тысячу и так далее.